初中数学竞赛试题（2023年大梦杯福建省初中数学竞赛试题）

2023年大梦杯福建省初中数学竞赛试题

题目一：代数方程

1. 解方程 $2x + 3 = 4x -7$ 的解答过程。

2. 证明当实数 $x$ 满足方程 $2x^2 + 3x -1 = 0$ 时，$x$ 的值是无理数。

3. 一个三次代数方程 $x^3 + ax^2 + bx + c = 0$ 有三个不同的实数解，且这三个解都是正数。证明 $a < 0$。

题目二：平面几何

1. 如图，$ABCD$ 是一个四边形，$AB=BC$，$\\angle BCD = 60^\\circ$，$\\angle ABD = \\angle DBC = 45^\\circ$，$AD = 6\\sqrt{2}$，求 $CD$ 的长。

2. 如图，在 $\\triangle ABC$ 中，$AB = 7$，$AC = 9$，$D$ 是 $BC$ 上的一点，使得 $AD$ 垂直于 $BC$。求 $AD$ 的长度。

3. 如图，$\\triangle ABC$ 中，$BC = 10$，$\\angle BAC = 60^\\circ$，点 $D$ 在 $BC$ 边上，且 $BD = 2$。在 $\\triangle ABC$ 中，作角平分线 $AE$，交 $BC$ 于点 $E$。求证：$AE$ 与 $BD$ 垂直。

题目三：立体几何

1. 如图，在长方体 $ABCDA_1B_1C_1D_1$ 中，$E$、$F$ 分别是 $BC$、$B_1C_1$ 中点，$G$ 是 $A_1E$ 与 $BF$ 的交点。已知 $BG = EF = CG$，求 $AG$ 的长度。

2. 如图，在正方体 $ABCDEFGH$ 中，$M$ 是 $AE$ 中点，$N$ 是 $AF$ 中点，$P$ 是 $BE$ 中点。连接 $NH$，交 $BD$ 于点 $Q$，连接 $QM$。求 $QM$ 的长度。

3. 如图，下图是一个正四面体，四个顶点分别为 $P,Q,R,S$，$M$ 是 $QR$ 中点。在 $\\triangle PMQ$ 中，作角平分线 $PN$，交 $MQ$ 在点 $N$，垂直于 $QR$，求证：$PN = PS$。

题目四：数学探究

1. 某学校有 $2000$ 名学生，其中 $80\\%$ 喜欢篮球，$60\\%$ 喜欢足球。有 $600$ 名学生不喜欢这两项运动，求喜欢篮球又不喜欢足球的学生人数。

2. 容器中装有黑牌和红牌若干个，两种牌的比例是 $2:3$。从中取出一张牌，若取出的是红牌，则将该牌丢掉；若取出的是黑牌，则将该牌替换成白牌，并将该牌放回容器中。已知取出两次红牌概率为 $\\dfrac{1}{117}$，求容器中共有多少张牌。

3. 如图，在长方形 $ABCD$ 中，$E$，$F$ 分别在 $AB$，$BC$ 边上，$\\triangle AEF$ 是与 $\\triangle BCF$ 相似的正三角形，$P$ 是 $AD$ 上的一个点，满足 $\\angle BPF = 90^\\circ$。若 $\\angle PFC = x^\\circ$，求证：$\\sin x = \\dfrac{2}{\\sqrt{15}}$。

总之，2023年大梦杯福建省初中数学竞赛试题既有代数方程、平面几何，也有立体几何和探究性问题，内容涵盖了初中数学广泛的知识点，要求同学们掌握扎实的数学基本功，理解透彻的数学概念，具备解决实际问题的能力和思维能力。